Введение в высшую алгебру

Предисловие к русскому переводу
Одной из основных особенностей развития математики в последнее время является проникновение алгебраических понятий, методов и идей в самые различные области математической науки. Один из первых примеров такой алгебраизации математических дисциплин дает нам проективная геометрия; несколько сгущая краски, можно сказать, что геометрия проективных аксиом соединения и алгебра наиболее общих алгебраических тел имеют один и тот же реальный субстрат своих построений. В анализе блестящим примером проникновения алгебраических идей является теория интегральных уравнений и начавшийся с нее линейный функциональный анализ, общим понятием линейного оператора захватывающий все более и более широкие области математики и ее приложений.
Чтобы не умножать примеров, упомяну еще только о топологии, в последние годы перестраивающейся и во многих своих отделах уже перестроившейся на основе систематической алгебраизации своих основных понятий и приемов исследования. При этом приходится отметить одно — наряду с общими идеями современной алгебры, нашедшими свое выражение в основных определениях теории групп, колец и идеалов, основной двигательной пружиной в процессе алгебраизации математики является так называемая линейная алгебра, т. е. алгебра линейных преобразований, матриц, абелевых групп с операторами.
Закон дистрибутивности — вот логическая основа, которой держится эта часть математики и которая, составляя основной логический элемент понятия линейного оператора, завоевывает все большие и большие области исследования.
Далее

Значение как общей, так и специально-линейной алгебры в современной математике до сих пор,— можно это прямо сказать, не получило отражения ни в нашем университетском преподавании, ни в изданной у нас до сих пор математической литературе. В Московском университете читаются разнообразные математические курсы, но тем не менее, можно кончить университет по специальности математики и не иметь возможности почерпнуть из пройденных курсов знания того, что называется элементарными делителями матрицы!
Одним из первых шагов к восполнению этого пробела является книга Бохера (Bocher), в значительной своей части посвященная линейной алгебре. Выбор книги Бохера для перевода нельзя не признать очень удачным — она является одним из лучших в мировой литературе введений в эту часть алгебры.
Материал выбран с большим вкусом, в книге нет ничего, что могло бы быть опущено, а это большое- и довольно редкое достоинство. Доказательства безукоризненно строги и вместе с тем изящны, — я нигде не встречал, например, столь простого доказательства известной теоремы Лапласа о детерминантах, как то, которое дано в книге Бохера. Рассуждения оживлены многочисленными геометрическими иллюстрациями (в этом отношении можно было бы пойти, впрочем, кое-где еще дальше, например в общей теории линейных уравнений).
Однако, оценивая по достоинству все положительное, что есть в книге Бохера, надо, с другой стороны, иметь в виду, что книга написана до переживаемого нами сейчас расцвета идей общей алгебры, поэтому полной перспективы на современное положение разбираемых вопросов читатель Бохера не получит. В этом смысле ему можно порекомендовать, прочтя книгу Бохера приступить к изучению Алгебры фан-дер-Вардена (van der Waerden), во втором томе которой содержится сжатая, но превосходная трактовка основных вопросов линейной алгебры с более широкой точки зрения. Далее, можно пожалеть об отсутствии у Бохера теории абелевых групп с конечным числом образующих, которая по существу своему занимается тем же, что и теория целочисленных матриц и вполне относится к элементарному курсу линейной алгебры. Но как бы то ни было, книга Бохера есть и остается одним из самых лучших, если не лучшим введением в свой предмет.
П. Александров, Клязьма, 11-го июня 1933 г.
-Опубликовано группой
-
Оглавление (сканы, превью)
Примеры страниц
-